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4.3 非等温流动和传热
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NON-ISOTHERMAL FLOW AND HEAT TRANSFER

4.3.1 速度分布
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第3章显示（方程式（3.13）），在毛细管流中，剪切应力与半径成正比，从中心的零到壁面的最大值，与流体性质无关。

在牛顿流体的等温流动中，粘度是恒定的，根据方程式（3.5），剪切速率与半径成正比。
当将其积分以给出速度时，速度的分布是抛物线形的（严格来说，抛物线形，见表3.1中的平均速度）。

如果流体从壁加热，则方程式（4.1）表示朝向中心的（向下）温度梯度，因此壁处的粘度将低于中心。

因此，与等温情况相比，剪切速率在壁附近会增加，在中心附近会降低，与抛物线a相比，图4.1中的曲线b会变平。

如果流体被冷却，温度和粘度梯度会反转，导致壁处的剪切速率降低，曲线c更为峰值（图4.1，曲线c）。

图4.1中绘制了曲线，以指示大致相同的平均速度和体积流量。在等温假塑性流动中，粘度随着剪切应力的增加而降低，再次给予更高壁附近的剪切速率和类似于曲线b的速度分布图4.1。

假塑性流体的加热和冷却再次改变等温速度分布，例如；加热会产生轮廓与图4.1中的曲线d相似，在极端情况下，曲线d倾向于“塞子”或“棒状”l流。
正是这些温度之间的相互作用以及使传热计算复杂化的速度分布（见下文）。

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| 图 4.1  粘度变化对速度分布的影响。
（a） 等温牛顿；（b） 加热牛顿；（c） 冷却牛顿；（d） 加热假塑料。




4.3.2 表面传热
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当热量通过表面传递到流体或从流体传递出去时，会产生额外的热阻。
有效厚度无法确定，因此表面传热通常与流体和固体表面之间的温差有关，而不是与温度梯度有关，相应的热流由下式给出：

.. math::


   q=h A\,\mathbf{d}T\tag{4.12}

其中 :math:`\mathbf{d}T` 是温差， :math:`h` [1]_ 是表面传热系数，单位为 :math:`\mathbf{W}\mathbf{m}^{-2}\mathbf{K}^{-1}`。
显然，在固体中的温度梯度显著的情况下，可以将方程（4.1）和（4.12）结合起来：

:math:`\begin{array}{c}{{q=\displaystyle\frac{k A}{x}\left(T_{2}-T^{\prime}\right)}}\\ {{=h A(T^{\prime}-T_{1})}}\end{array}` ``-  (4.13)``


对于冷却水的传热（通常在湍流中）读者可参考传热标准著作（McAdams，1954；Kay和Nedderman，1974）用于测定传热系数，流体或金属温度变化的地方，
例如；由于温度上升在入口和出口之间，用于确定适当的平均值温差。
挤出机中聚合物流动的雷诺数总是小于2100，所以流动总是层流的。
传热至或牛顿流体的无量纲努塞尔特数字 :math:`h D/k` 其中 :math:`h` 基于算术平均值温差和 :math:`\pmb{D}` 是毛细管直径。

质量流率 :math:`w` [2]_ ，毛细管长度 :math:`L` 结合在第二个无量纲群中，
格雷茨数 :math:`w C_{\mathsf{p}}/k L` 。对于Graetz数大于10的值，理论曲线近似为：

.. math::


   \frac{h D}{k}=1.75\left(\frac{w C_{\mathrm{p}}}{k L}\right)^{1/3}\tag{4.14}


对于宽狭缝，可以使用该方程，其中狭缝的厚度 :math:`H` 等于 :math:`D/2` ，通过宽度 :math:`\pi H` 的质量流速，即与直径为D的毛细管中的质量速度 :math:`(\dot{\mathbf{k}}\mathbf{g}\,\mathbf{s}^{-1}\,\mathbf{m}^{-2})` 相同。
在Graetz数小于10的值下，即质量流速小，长度 :math:`L` 长，最终流体温度接近壁的温度，在Graetz数小于3的情况下，毛细管直径 :math:`\pmb{D}` 的Nusselt数近似为：

.. math::


   N u={\frac{2}{\pi}}\,Gz\tag{4.15}

在范围内逐渐过渡 :math:`3<G z<10`

对于熔融聚合物，需要进行多次校正；径向温度梯度改变了等温牛顿流假设的抛物线形式的速度分布，非牛顿行为也是如此（见第60页）。
由于剪切加热和热膨胀而产生的热量也可能很大；许多研究人员已经研究了这个问题，包括Forrest和Wilkinson（1973；1974）和Abedi（1975）。
图4.2复制自Abedi的工作，显示了计算和实验结果，以大致指示预期值的范围。
读者可以参考原著了解更多细节，包括变量的定义。加热（图4.2的曲线3）和冷却（曲线2）之间的传热差异主要是由于温度和速度分布的耦合影响。
曲线4和1显示了热膨胀和粘性加热的额外影响，根据Abedi的说法，这两者往往相互对立。
应当注意，图4.2中的 Nusselt 数基于聚合物熔体的温度上升或下降，包括粘性加热，而不仅仅是固体表面的热量。

图 3.9 显示了牛顿流体在两种简单几何形状中因压力流动而产生的应变能变化。应变能转化为粘性加热，导致局部温度升高。
如果密度为 :math:`\rho`，比热为 :math:`C_{\mathsf{p}}` ，则在没有凝结力的情况下，局部温度的上升率为 :math:`C_{\mathsf{p}}` 。
在没有传导的情况下，局部温度上升率为（单位体积内体积）：

| |image2|

| 图 4.2 流向/流出 聚合物熔体的对流传热。 :math:`+` 已公布的实验数据（加热）；:math:`\times` Abedi 的实验数据（冷却）。

.. math::

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=\frac{\eta\,\dot{\gamma}^{2}}{\rho C_{\mathfrak{p}}}\tag{4.16}

第 45 页的例子中使用了公式 (4.16)。

如上所述，在非等温和非牛顿条件下，剪切应力/剪切速率关系（公式 (3.15) 和 (3.26)）将发生变化，粘度不再是常数。
因此，除了总应变能的变化外，分布也会发生变化，局部温差也会随之变化，这种温差可能会持续到螺杆末端。
这些温差通过聚合物内部的横向循环和热传导而减小（第 58 页）；第 8.4 节将对此进行探讨。

.. |image1| image:: /images/027689dc40261baf153c43c7801a5af497e84d55e8d7a3d1e403125cae50c185.jpg
.. |image2| image:: /images/395d2f40efe32fc67bc093b300b6f6a8ec4915c3f502a67f7313dc0401aaa112.jpg


.. [1] 符号 :math:`h` 是常规符号，但必须与第6、7和8章中的螺槽深度区分开来。
.. [2] 符号 :math:`w` 是常规符号，但在第 6 章和第 8 章中必须与局部流动速度区分开来。